El límite según Heine

Desde que mi vida universitaria inició, los límites entraron irrevocablemente en mi vida. Y el número de caras de incertidumbre que pude ver a lo largo de todos estos años en los iniciados (y no tan iniciados) en el análisis matemático cada vez que algún profesor les definia límites era sorprendentemente grande. Eso me dejó claro que Cauchy puso rigurosidad a la definición de límite, pero de claridad, nada.

Hace un tiempo, pues, tuve la suerte de que llegó a mis manos un libro de la extinta editorial MIR-Moscú, "Curso de Análisis Matemático", del profesor L.D. Kudriávtzev, en la que encontré una definición alternativa de límite de una función, obra y gracia del matemático prusiano Heinrich Heine, dada en términos de límites de sucesiones. Pero vamos a la acción.

Todos los brillantes lectores de este blog saben que una correspondencia biunívoca entre cada número natural y cierto número real, xn, es lo que llamamos una sucesión.

El número a que pertenece a los reales se llama límite de la sucesión {xn}, designado como:



Si: n_{0}\Rightarrow x_{n}\in U(a)" src="http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21%5Cexists%20n_%7B0%7D%5Cin%20N%3A%5Cforall%20n%3E%20n_%7B0%7D%5CRightarrow%20x_%7Bn%7D%5Cin%20U%28a%29.gif" align="center" border="0">

Para los que prefieren el "lenguaje de las epsilon", podemos tambien definir el límite de una sucesión como el número a que pertenece a R, tal que:

0)(\exists n_{\varepsilon }\in N):\forall n>n_{\varepsilon }\Rightarrow \left | x_{n}-a \right |<\varepsilon " src="http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21%28%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%29%28%5Cexists%20n_%7B%5Cvarepsilon%20%7D%5Cin%20N%29%3A%5Cforall%20n%3En_%7B%5Cvarepsilon%20%7D%5CRightarrow%20%5Cleft%20%7C%20x_%7Bn%7D-a%20%5Cright%20%7C%3C%5Cvarepsilon%20.gif" align="center" border="0">